محدودیت دامنه ورودی و عدم قطعیت در آسیب

دوره 48 شماره 2 تابستان 1395 صفحه 115 تا 124 Vol. 48, No. 2, Summer 2016, pp. 115-124 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک AmirKabir Jounrnal of Science & Research Mechanical Engineering ASJR-ME طراحی کنترلکننده تحملپذیر خطا برای ماهواره با درنظرگرفتن محدودیت دامنه ورودی و عدم قطعیت در آسیب 3 دانیال بوستان 1* سید کمال حسینی ثانی 2 ناصر پریز 1- استادیار دانشکده برق دانشگاه مهندسی فناوریهای نوین قوچان 2- استادیار دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد 3- استاد دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد )دریافت: 1392/3/7 پذیرش: 1394/4/8( چکیده هدف اين مقاله طراحی کنترلکننده ردیاب تحملپذیر خطا برای زیرسیستم کنترل وضعیت یک ماهواره با معادالت دینامیک غیرخطی است. وظیفه این کنترلکننده حفظ پایداری و عملکرد مناسب سیستم حلقهبسته در هنگام بروز آسیب ناشناخته در عملگر در حضور اغتشاش خارجی کراندار و محدودیت دامنه ورودی است. مبنای این کنترلکننده بر پایه کنترل ساختارمتغیر بوده و با استفاده از روش مستقیم لیاپانوف کرانداری غایی سیگنالهای خطای حالت اثبات شده است. کنترلکننده پیشنهادی بر خالف سایر روشهای موجود به اطالعات دقیق آسیب وابسته نبوده و در روند طراحی آن فقط از کران کمینه و بیشینه آسیب استفاده شده است. همچنین به دلیل خواص جبری مناسب و نبود تکینگی در نمایش وضعیت به کمک کواترنیونها استفاده از این پارامترها در دستور کار قرار گرفته است. نتایج شبیهسازی نشان از عملکرد مناسب کنترلکننده پیشنهادی در حضور اغتشاش خارجی و آسیب ناشناخته موجود در عملگر است. کلمات کلیدی: کنترل تحملپذیر خطا کنترل وضعیت خطای ضربشونده عملگر ردیابی کنترل ساختار متغیر. * نویسنده مسئول و عهدهدار مکاتبات: Email: d.bustan@qiet.ac.ir

آسیب در قطعیت عدم و ورودی دامنه محدودیت گرفتن درنظر با ماهواره برای خطا تحملپذیر کنترلکننده طراحی 1-1 مقدمه زیرسیستم در کنترلکننده طراحی در پیشرو مسائل مهمترین از یکی سیستم مطلوب عملکرد حال عین در و پایداری حفظ وضعیت کنترل نمود هنگامی مساله این عملگرهاست. در آسیب بروز هنگام در حلقهبسته قیودی و خارجی اغتشاشات مانند محیطی عوامل که مییابد بیشتری شود. اضافه مساله صورت به نیز ورودی سیگنال دامنه محدودیت مانند این با مواجهه در کنترل سنتی روشهای نامناسب عملکرد به توجه با منظور این برای خطا تحملپذیر کنترل عنوان با جدیدی روش مساله و فعال دسته دو به خطا تحملپذیر کنترل کلی بطور است. شده پیشنهاد نیز مقاوم نام با که فعال غیر روش در 3[. ]2, میگردد تقسیم فعال غیر هک میشود طراحی گونهای به و بوده ثابت کنترلکننده میشود نامیده رد باشد. مقاوم ازپیشتعیینشده آسیبهای مقابل در حلقهبسته سیستم مقابل طرف در نیست. آسیب شدت و نوع از اطالع به نیازی روش این کنترلکننده در تغییراتی آسیب شدت و نوع به توجه با فعال روش در حفظ ممکن حد تا را سیستم مطلوب عملکرد بتوان تا گرفته صورت و تشخیص زیرسیستم وجود به توجه با روش این که است واضح نمود. دارد. نیاز فعال غیر روش به نسبت بیشتری محاسبات آسیب جداسازی زیرسیستم پردازنده در برخط محاسبات حجم در محدودیت به توجه با سالهای در و بوده مطلوبتر فعال غیر روش ماهواره وضعیت کنترل است. یافته اختصاص روش این به مقاالت از قابلتوجهی حجم نیز اخیر کنترل زمینه در گرفته صورت فعالیتهای مرور به 3[ ]2, مرجع دو در است. شده پرداخته فعال غیر و فعال روش دو مقایسه و خطا تحملپذیر روش این از مقاله این در فعال غیر روش در گفتهشده مزیت به توجه با کنترل زمینه در موجود مقاالت مرور به ادامه در است. شده استفاده شد. خواهد پرداخته فعال غیر روش به خطا تحملپذیر طراحی در ماتریسی خطی نامساوی از 5[ ]4, پژوهشهای در زا 7[ ]6, مطالعات در است. شده استفاده خطا تحملپذیر کنترلکننده کنترلکننده از ]8[ یانگ و ژین مطالعه و مستقیم غیر تطبیقی کنترلکننده گفتهشده مقاالت در است. شده استفاده منظور این برای مستقیم تطبیقی غیرخطی معادالت به اشارهای و شده استفاده خطی دینامیکی معادالت از در و مطلق پایداری تئوری از ]9[ لوم و عثمان بن مطالعه در است. نشده شده استفاده 1 انفعالی نظریه از ]10[ لوم و عثمان بن از دیگری مطالعه است. نشده گرفته نظر در خارجی اغتشاش تاثیر مقاالت این در اما است در تطبیقی عقب به بازگشت روش از ]11[ همکاران و زیااو مطالعه در در و 2 خطی غیر دینامیک معکوس روش از ]1[ همکاران و بوستان مطالعه 3 تغییرناپذیری و شدن غوطهور روش از ]12[ همکاران و بوستان پژوهش این در ورودی دامنه محدودیت اما شده استفاده غیرخطی معادالت برای هو مطالعه در پیشنهادی کنترلکننده است. نشده گرفته نظر در مقاالت به محدود اما ندارد را گفته پیش محدودیتهای اگرچه ]13[ همکاران و است. رگوالتوری حالت خطا تحملپذیر ردیاب کنترلکننده یک طراحی هدف مقاله این در آسیب بروز هنگام که است ماهواره یک وضعیت کنترل زیرسیستم برای طراحی در نماید. تضمین را حلقهبسته سیستم مناسب عملکرد و پایداری ضربشونده ناشناخته آسیب کراندار خارجی اغتشاش کنترلکننده این و دینامیک است. شده گرفته نظر در ورودی دامنه محدودیت و عملگر در خواص از استفاده با و بوده غیرخطی مقاله این در استفاده مورد سینماتیک پایداری پیشنهادی کنترلکننده که است شده داده نشان کواترنیونها باعث آنچه مینماید. تضمین را حلقهبسته سیستم 4 یکنواخت غایی کراندار موارد در میتوان را است شده موجود روشهای با پیشنهادی روش تمایز کرد: خالصه زیر کران فقط و نداشته نیازی آسیب دقیق اطالعات به روش این است. شده استفاده کنترلکننده در آسیب پایین و باال طراحی روند در مستقیم طور به ورودی دامنه محدودیت است. شده لحاظ کنترلکننده متغیرهای خطای یکنواخت انتهایی کرانداری پایداری اثبات در امکان پیشنهادی کنترلکننده بنابراین است. گرفته قرار مدنظر حالت دارد. را نظر مورد مسیر ردیابی استفاده مورد غیرخطی معادالت معرفی به 2 بخش در ادامه در در پیشنهادی خطای تحملپذیر مقاوم کنترلکننده شد خواهد پرداخته شد. خواهد ارائه 4 بخش در شبیهسازی نتایج سپس معرفیشده 3 بخش پرداخته پیشنهادی کنترلکننده بسته حلقه پایداری اثبات به نیز انتها در شد. خواهد ماهواره در خطا سینماتیک و 2-2 دینامیک در تغییر که شده فرض صلب جسم یک ماهواره مقاله این در هم بر عمود دوبهدو محورهای حول گشتاور اعمال توسط آن وضعیت تشکیل را )B( بدنه مختصات محورهای محورها این میپذیرد. صورت نشان )D( مختصات دستگاه با نیز سیستم مطلوب وضعیت میدهند. محورهای نمودن همراستا وضعیت کنترل زیرسیستم هدف میشود. داده است. )D( با )B( مختصات )D( مطلوب و )B( بدنه مختصات لکششکشدستگاه 4 Uniformly Ultimately Bounded (UUB) 1 Passivity Theorem 2 Nonlinear Dynamics Inversion (NDI) 3 Immersion and Invariance (I&I) 1395 تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه 116

پریز ناصر ثانی حسینی کمال سید بوستان دانیال خطای دینامیکی معادالت از گفتهشده هدف به دستیابی برای است شده نوشته عملگر در ضربشونده آسیب وجود فرض با که وضعیت ]14-16[: میشود استفاده مورد زیر فرضیات پیشنهادی کنترلکننده طراحی روند در همچنین میگیرند: قرار استفاده که بوده u max معلوم کران به محدود ورودی سیگنال دامنه 1: فرض میشود: داده نمایش زیر بهصورت )(( که بوده d معلوم کران به محدود خارجی اغتشاش دامنه 2: فرض میشود: داده نمایش زیر بهصورت )(( )(( )(( )(( ω d 0 و ω d 0 ثوابت ردیابی برای موردنظر مسیر برای 3: فرض i=1,2,3 و ω d 0, 1,2,3=i زمانها تمام در که بهگونهای دارند وجود. ω d 0 Γ min Γ Γ بازه به محدود اما نامشخص مقدار یک Γ 4: فرض i max i فرض این میباشند. معلوم مثبت عدد دو Γ max و Γ min آن در که است است. عملگر در موجود آسیب میزان در قطعیت عدم نشاندهنده نامساوی در u max ورودی دامنه کران مقدار 5: فرض است. aaaaaaaaaaaaaa آن در که میکند صدق aaaaaaaaaa اندازهای به باید عملگرها باقیمانده توان که معناست بدان فوق فرض به و کند دنبال را مدنظر مسیر بتواند وضعیت کنترل زیرسیستم که باشد نماید. دفع را خارجی اغتشاش همزمان طور آسیب با مواجه در و ماهواره وضعیت کنترل زیرسیستم طراحی در اهداف میتوان ورودی دامنه محدودیت و خارجی اغتشاش عملگر در نمود: بیان زیر بهصورت را کنترلی و بوده کراندار حلقهبسته سیستم در داخلی سیگنالهای تمام باشند. پیوسته وضعیت ردیابی خطای کواترنیون Q e =(q 0e,q et فوق معادالت در میکند بیان را )D( و )B( مختصات سیستم دو نسبی وضعیت که بوده و )B( مختصات سیستم دو انطباق برای الزم دوران ماتریس C(Q e ( میشود: داده نشان )4( رابطه با و است یکدیگر بر )D( مختصات دستگاه نسبی زاویهای سرعت بیان ω e =(ω e1,ω e2,ω e3 دستگاه زاویهای سرعت بیان ω=(ω 1,ω 2,ω 3 و )D( به نسبت )B( در دو هر که است )I( مرجع مختصات دستگاه به نسبت )B( مختصات دستگاه زاویهای سرعت ω d =(ω d1,ω d2,ω d3 شدهاند. بیان )B( دستگاه دستگاه در که است )I( مرجع مختصات دستگاه به نسبت )D( مختصات 3 در 3 ماتریس J و 3 در 3 همانی ماتریس I 3 است شده بیان )D( در که بوده ماهواره اینرسی ممان ماتریس معرف و معین مثبت و متقارن نامساوی ω e زاویهای سرعت خطای و q e وضعیت خطای پارامترهای باشند. پایدار یکنواخت غایی کراندار بهصورت این در باشد. کراندار aaaaaaaaaaaaaaa عملکرد معیار میشود. تعریف )9( رابطه بهصورت S=(s 1,s 2,s 3 پارامتر عبارت )(( معرفی به ادامه در که بوده زمان با متغیر تابعی k فوق عبارت در شد. خواهد پرداخته آن )(( شده ایجاد کنترلی گشتاور u=(u 1,u 2,u 3 ϵ R 3 میکند. صدق خارجی اغتشاشی گشتاور معرف d=(d 1,d 2,d 3 ϵ R 3 و عملگرها توسط است. بوده عملگر سالمت ماتریس Γ=diag{Γ 1, Γ 2, Γ 3 { فوق روابط در سالمت معرف Γ i =1 مینمایند. صدق 0< Γ 1 1<0 Γ i شرط در آن المانهای و پاد ماتریس معرف ξ نماد ξ=(ξ 1,ξ 2,ξ 3 بردار برای است. iام عملگر داراست. را )6( رابطه در شده ارائه خواص که است )5( متقارن R R )(( خطا تحملپذیر کنترلکننده 3-3 طراحی شده بیان سیستم )10( رابطه در شده ارائه کنترل قانون 1: تئوری غایی کراندار بهصورت را )3( تا )1( روابط در موجود دینامیکی معادالت با کنترلی اهداف نیز و ارضا 1-5 فرضیات همچنین میکند. پایدار یکنواخت )(( 117 1395 تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه

طراحی کنترلکننده تحملپذیر خطا برای ماهواره با درنظر گرفتن محدودیت دامنه ورودی و عدم قطعیت در آسیب فوق توسط این کنترلکننده برآورده میشود. در عبارت فوق δ یک ثابت مثبت بوده و k(t( با استفاده از رابطه )11( محاسبه میگردد. که در آن γ یک ثابت مثبت بوده و χ عبارت است از: اثبات: از تابع لیاپانوف زیر استفاده میشود: در تابع فوق γ یک ثابت مثبت است. با محاسبه مشتق رابطه )15( و پس از سادهسازی روابط و استفاده از خواص کواترنیونها میتوان نشان داد که: H=(C(Q e و ) J + J(C(Q e در عبارت فوق ( H=-H T از آنجا که. g=(c(q e ) J C(Q e + JC(Q e لذا ماتریس پاد متقارن H بوده و بنا بر رابطه )6( نتیجه میشود که. ω et همچنین: Hω e =0 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395 118

دانیال بوستان سید کمال حسینی ثانی ناصر پریز با استفاده از رابطه )17( داریم: با استفاده از قانون بروزرسانی رابطه )19( عبارت رابطه )18( به شکل زیر ساده میگردد: با توجه به فرض 0 5 V نتیجه میشود. x=[ 1-q e0 میتوان نشان داد q e ω e با تعریف بردار حالت [ که تابع لیاپانوف معرفی شده در رابطه )15( بهصورت زیر کراندار است: λ min و در عبارت فوق aaaaaaaaaaaaaaaaaa بوده و )0) λ max نیز بهترتیب حداقل و حداکثر مقادیر ویژه ماتریس هستند. با (0( استفاده از نامساوی داریم: که در عبارت فوق aaaaaaaaaa است. با انتخاب 1> θ >0 0 1 θ میتوان عبارت موجود در رابطه )23( را بهشکل زیر بازنویسی نمود: در عبارت فوق. aaaaaaaaaaaaaa با توجه به رابطه )18( قانون بروزرسانی k به صورت زیر تعریف میشود: در صورتیکه که در آن داریم: 119 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395

طراحی کنترلکننده تحملپذیر خطا برای ماهواره با درنظر گرفتن محدودیت دامنه ورودی و عدم قطعیت در آسیب بنابراین کران متغیرهای حالت سیستم بهصورت رابطه زیر خواهد بود: که در آن: 4-4 شبیهسازی در این قسمت نتایج شبیهسازی کنترلکننده پیشنهادی بر روی یک ماهواره نمونه ارائه شده است. همچنین فرض میشود که عملگرها قادر به تولید گشتاور پیوسته با مقدار بیشینه 5 نیوتنمتر میباشند. ماتریس ممان اینرسی بهکاررفته در این مقاله مانند مرجع ]13 15-16[ بوده و برابر با رابطه )13( است. )13( اغتشاش خارجی نیز بهصورت بازه فوق مجموعه بسته کوچکی است که شامل مبدا میباشد. از روابط )26( و )15( و با استفاده از تئوری کرانمندی ]17[ 5 میتوان به ω e کراندار نهایی یکنواخت هستند که q e و 1-q e0 این نتیجه رسید که این مساله کراندار بودن k(t( را نتیجه میدهد. همچنین با توجه به محدود ω d )بنا بر فرض 3( کراندار بودن V نیز نتیجه میشود. بودن ویژگیهای قانون کنترلی معرفی شده در رابطه )10(: 1 کران 1. باالی دامنه سیگنال ورودی بهطور مستقیم در رابطه کنترلکننده مدنظر قرار گرفته است. بنابراین با استفاده از این کنترلکننده نیازی به استفاده از المانهای محدودکننده دامنه مانند عملگر اشباع نبوده و مشکالت استفاده از عملگر اشباع خصوصا در اثبات پایداری مرتفع شده است. 2 کنترلکننده 2. فوق در دو حالت بدون آسیب و آسیبدیده سیستم یکسان بوده و نیازی به مکانیزمی برای تغییر از یک کنترلکننده به کنترلکننده دیگر پس از وقوع آسیب نیست. 3 کنترلکننده 3. فوق بهمقدار واقعی آسیب وابسته نبوده و فقط تخمینی از حداقل و حداکثر آسیب در آن استفاده شده است. به همین دلیل وابستگی این روش به دقت زیرسیستم شناسایی آسیب به حداقل رسیده است. 4 در 4. صورتیکه بتوان دو کران کمینه و بیشینه برای آسیب در نظر گرفت میتوان زیرسیستم شناسایی آسیب را حذف نمود هر چند که این مسئله اندکی در کاهش عملکرد سیستم موثر خواهد بود. گفتنی است که عامل k پس از مدت کوتاهی به صفر میل میکند. بنابراین دقت تعیین کران بیشینه و کمینه فقط در این زمان محدود موثر است. در قسمت شبیهسازی از این رویکرد استفاده شده است. در ادامه نتایج شبیهسازی روش پیشنهادی ارائه خواهد شد. فرض شده است. آسیب فرضی عملگرها نیز تا 75=t برابر 1 بوده و پس از آن بهصورت رابطه زیر است )شکل 2(: که در عبارت فوق: e i در هر 4 ثانیه یک تابع rand4sec)( بهکاررفته در تعریف متغیر عدد تصادفی با توزیع نرمال در بازه ]0,1[ ایجاد میکند. خطای سرعت زاویهای بهمیزان 10 درصد مقدار اندازهگیری شده بهعنوان خطای تعیین وضعیت به شبیهسازی اضافه شده است. همچنین پارامترهای بهکار رفته در شبیهسازی بهصورت زیر است: λ max =1, δ=0.02, γ=0.002, ρ=1, u max =5, J M =20.1571, در شبیهسازی هدف ردیابی مسیری با رابطه λ max =0.1, k(0)=2.5 )14( q 0 بوده است. شرایط اولیه نیز برای کواترنیونها به صورت 0/9653= q 3 و برای سرعت زاویهای صفر انتخاب =-0/2 q 2 =0/15 q 1 =-0/1 شده است. شکل های 4 تا 6 نتایج شبیهسازی کنترلکننده پیشنهادی در ردیابی مسیر فوق را نشان میدهد. همچنین بهمنظور مقایسه کارایی k d k p و =5 روش پیشنهادی نتایج کنترلکننده PD نیز با پارامترهای 4= به شبیهسازیها افزوده شده است. انتخاب ضرایب فوق بهگونهای بوده 5 Boundedness theorem نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395 120

پریز ناصر ثانی حسینی کمال سید بوستان دانیال سیستم آسیب بدون حالت در مناسبی عملکرد PD کنترلکننده که است باشد. ±5 بازه به محدود کنترلی سیگنال دامنه و داشته بهتری بهمراتب عملکرد پیشنهادی کنترلکننده که میشود مشاهده دارد. PD کنترلکننده به نسبت عملگرها فرضی لکششکشآسیب 5-5 نتیجهگیری طراحی به متغیر ساختار تغییر روش از استفاده با مقاله این در عملگر در ضربشونده آسیب با مواجه برای خطا تحملپذیر کنترلکننده استفاده با بسته سیستمحلقه پایداری پیشنهادی روش در شد. پرداخته شور بهکمک و میشود بروزرسانی تطبیقی بهصورت که پارامتر یک از دیدگاه با روش این در پایداری اثبات است. شده تضمین لیاپانوف مستقیم این پیشنهادی روش تمایز باعث آنچه است. بوده یکنواخت غایی کرانداری اطالع به پیشنهادی روش نیاز عدم است شده موجود روشهای با مقاله محدودیت همچنین است. مسیر ردیابی امکان و آسیب شدت از دقیق است. شده لحاظ مستقیم بهصورت کنترلکننده طراحی در ورودی دامنه کافی کنترلی توان که بوده آن بر فرض مقاله این در است ذکر به الزم سیستم بهعبارتدیگر دارد وجود خارجی اغتشاش دفع و ردیابی برای زیر حالت بنابراین بماند. باقی کنترلپذیر همچنان آسیب وقوع از پس شبیهسازی نتایج است. نشده واقع بررسی مورد مقاله این در 6 تحریکشده با نظر مورد مسیر ردیابی در پیشنهادی روش مطلوب عملکرد از نشان ضربشونده آسیب و ورودی دامنه محدودیت خارجی اغتشاش وجود دارد. عملگر در موجود k(t( لکششکشپارامتر دیده آسیب حالت به نرمال حالت از سوییچ زمان عمود: خط خطا لکششکشکواترنیون 6 Under actuated 121 1395 تابستان 2 شماره 48 دوره مکانیک مهندسی - امیرکبیر پژوهشی علمی نشریه

طراحی کنترلکننده تحملپذیر خطا برای ماهواره با درنظر گرفتن محدودیت دامنه ورودی و عدم قطعیت در آسیب لکششکشخطای سرعتهای زاویهای خط عمود: زمان سوییچ از حالت نرمال به حالت آسیب دیده لکششکشسیگنال کنترلی خط عمود: زمان سوییچ از حالت نرمال به حالت آسیب دیده [3] Jiang, J.,Yu, X., 2012. Fault-tolerant control systems: A comparative study between active and passive approaches, Annual Reviews in Control,36, pp. 60-72. [4] Yingchun, Z., Yu, G., Yu, J.,Xueqin, C., 2010. LMIbased design of robust fault-tolerant controller, 3rd International Symposium on Systems and Control in 6-6 مراجع ]] 1 ]بوستان دانیال حسینی ثانی سید کمال پریز ناصر کنترل تحملپذیر خطا براي ماهواره به روش معکوس دینامیک غیرخطی دوازدهمین کنفرانس انجمن هوافضاي ایران 1391. [2] Zhang, Y.,Jiang, J., 2008. Bibliographical review on reconfigurable fault-tolerant control systems, Annual Reviews in Control,32, pp. 229-252. نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395 122

دانیال بوستان سید کمال حسینی ثانی ناصر پریز under actuator faults and bounded disturbance, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 133, pp. 051006-8. [12] Bustan D., Hosseini Sani S.K., Pariz N., 2014. Immersion and invariance based fault tolerant adaptive spacecraft attitude control, International Journal of Control, Automation and Systems, 12, no 2, pp. 333-339. [13] Hu, Q., Xiao, B.,Friswell, M. I., 2011. Robust faulttolerant control for spacecraft attitude stabilisation subject to input saturation, IET Control Theory & Applications,5, pp. 271-282. [14] Zou, A.-M.,Kumar, K. D., 2011. Adaptive fuzzy fault-tolerant attitude control of spacecraft, Control Engineering Practice,19, pp. 10-21. [15] Bustan D., Hosseini Sani S.K., Pariz N., 2014. adaptive fault-tolerant spacecraft attitude control design with transient response control, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 19, no. 4, pp. 1404-1411. [16] Bustan D., Pariz N., Hosseini Sani S.K., 2014. Robust fault tolerant tracking control design for spacecraft under control input saturation, ISA Transactions, 53, no. 4, pp. 1073-1080. [17] Khalil, H. K., 2002. Nonlinear systems, Prentice Hall ; London : Pearson Education,3rd ed., Upper Saddle River, N.J. Aeronautics and Astronautics, pp. 353-356. [5] Fang, L., Jian Liang, W.,Guang-Hong, Y., 2002. Reliable robust flight tracking control: an LMI approach, IEEE Transactions on Control Systems Technology,10, pp. 76-89 [6] Jin, X., Yang, G.,Li, Y., 2010. Robust fault-tolerant controller design for linear time-invariant systems with actuator failures: an indirect adaptive method, Journal of Control Theory and Applications, 8, pp. 471-478. [7] Cai, W., Liao, X.,Song, D. Y., 2008. Indirect robust adaptive fault -tolerant control for attitude tracking of spacecraft, Journal of Guidance Control and Dynamics,31, pp. 1456-1463 [8] Jin, X.-Z.,Yang, G.-H., 2009. Robust adaptive faulttolerant compensation control with actuator failures and bounded disturbances, Acta Automatica Sinica, 35, pp. 305-309. [9] Benosman, M.,Lum, K. Y., 2009. Application of absolute stability theory to robust control against loss of actuator effectiveness, IET Control Theory and Applications, 3, pp. 772-788. [10] Benosman, M.,Lum, K. Y., 2010. Passive actuators' fault-tolerant control for affine nonlinear Systems, IEEE Transactions on Control Systems Technology, 18, pp. 152-163. [11] Xiao, B., Hu, Q.,Friswell, M. I., 2011. Robust fault tolerant control for spacecraft attitude stabilization 123 نشریه علمی پژوهشی امیرکبیر - مهندسی مکانیک دوره 48 شماره 2 تابستان 1395